Taxa de Variação de Funções do 1º Grau

Introdução

A taxa de variação é um conceito fundamental no estudo de funções, especialmente nas funções do 1º grau, também conhecidas como funções lineares. Essas funções têm a forma geral f(x) = ax + b, onde a e b são constantes. A taxa de variação nos ajuda a entender como uma função linear se comporta em diferentes intervalos.

Taxa de Variação em Funções do 1º Grau

A taxa de variação de uma função do 1º grau pode ser interpretada como a inclinação da reta que representa essa função no gráfico. Para uma função f(x) = ax + b, o coeficiente a representa a taxa de variação. Esse valor indica quanto a função f(x) muda para cada unidade que x muda. Se a for positivo, a função cresce; se for negativo, a função decresce.

A taxa de variação média entre dois pontos x1 e x2 é calculada pela fórmula:

                Taxa de Variação Média = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)
                = [(ax2 + b) - (ax1 + b)] / (x2 - x1)
                = a(x2 - x1) / (x2 - x1)
                = a
            

Isso mostra que, independentemente dos pontos escolhidos, a taxa de variação média é sempre igual ao coeficiente a, confirmando que a função é linear e a sua inclinação é constante.

Exemplos de Taxa de Variação

Exemplo 1

Considere a função f(x) = 3x + 1

Aqui, a = 3. Isso significa que para cada aumento de 1 unidade em x, f(x) aumenta em 3 unidades.

Se escolhermos x1 = 1 e x2 = 4, temos:

                f(1) = 3(1) + 1 = 4
                f(4) = 3(4) + 1 = 13
            

A taxa de variação média é:

                Taxa de Variação Média = (f(4) - f(1)) / (4 - 1)
                = (13 - 4) / (4 - 1)
                = 9 / 3 = 3
            

Neste caso, a taxa de variação média é igual a 3, que é o mesmo que o coeficiente a = 3.

Exemplo 2

Agora, consideremos a função f(x) = -2x + 5

Aqui, a = -2. Isso indica que para cada aumento de 1 unidade em x, f(x) diminui em 2 unidades.

Escolhendo x1 = 2 e x2 = 5, temos:

                f(2) = -2(2) + 5 = 1
                f(5) = -2(5) + 5 = -5
            

A taxa de variação média é:

                Taxa de Variação Média = (f(5) - f(2)) / (5 - 2)
                = (-5 - 1) / (5 - 2)
                = -6 / 3 = -2
            

Aqui, a taxa de variação média é -2, que é igual ao coeficiente a = -2.

Interpretação Gráfica

No gráfico de uma função do 1º grau, a linha é reta, e a inclinação da reta é dada pelo coeficiente a. Essa inclinação indica como a variável dependente f(x) muda em relação à variável independente x. Por exemplo, na função f(x) = 3x + 1, a reta sobe com uma inclinação de 3, enquanto na função f(x) = -2x + 5, a reta desce com uma inclinação de -2.

Conclusão

A taxa de variação da função do 1º grau é um conceito simples, mas poderoso, que desempenha um papel crucial na análise de funções lineares. Compreender esse conceito ajuda a estabelecer conexões entre diferentes áreas do conhecimento e a desenvolver uma base sólida para o estudo de funções mais complexas.