MATEMÁTICA – PROGRESSÃO ARITMÉTICA
Introdução
A Progressão Aritmética (PA) é um conceito fundamental da matemática, amplamente utilizado em diversas áreas, como economia, engenharia e física. Ela representa uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido pela soma do termo anterior com uma constante chamada de razão.
Definição de Progressão Aritmética
Uma Progressão Aritmética (PA) é uma sequência numérica em que a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da PA e é representada por r.
Seja uma PA dada por:
a₁, a₂, a₃, …, aₙ
Temos que a relação geral entre os termos é:
aₙ = a₁ + (n – 1)r
- aₙ: enésimo termo da PA
- a₁: primeiro termo da PA
- r: razão da PA
- n: número do termo na sequência
Classificação da Progressão Aritmética
- PA crescente: Quando a razão r é positiva (r > 0).
- PA decrescente: Quando a razão r é negativa (r < 0).
- PA constante: Quando a razão r é zero (r = 0), ou seja, todos os termos são iguais.
Soma dos Termos da Progressão Aritmética
A soma dos primeiros n termos de uma PA pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)
- Sₙ: soma dos n primeiros termos
- a₁: primeiro termo
- aₙ: enésimo termo
- n: número de termos
Outra forma de calcular a soma dos termos é:
Sₙ = (n/2) × [2a₁ + (n – 1)r]
Exemplo Prático
Considere a PA: 2, 5, 8, 11, 14…
- Primeiro termo: a₁ = 2
- Razão: r = 5 – 2 = 3
- Quinto termo: a₅ = a₁ + (5 – 1) × r = 2 + 4 × 3 = 14
- Soma dos 5 primeiros termos: S₅ = (5/2) × (2 + 14) = 5 × 8 = 40
Aplicações da Progressão Aritmética
- Finanças: Cálculo de juros simples e economias programadas.
- Engenharia: Análise de padrões de crescimento e desgaste.
- Física: Modelagem de fenômenos lineares.
- Ciências Sociais: Estudo de tendências populacionais.
Conclusão
A Progressão Aritmética é um conceito matemático essencial para o estudo de sequências numéricas e suas aplicações em diversas áreas do conhecimento. A compreensão de sua fórmula geral, da soma dos termos e de suas classificações permite resolver uma ampla gama de problemas práticos.
Referências
- STEWART, J. Cálculo. 8. ed. Cengage Learning, 2015.
- BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares. Wiley, 2017.
- ANTON, H. Álgebra Linear com Aplicações. 11. ed. Wiley, 2013.