Matemática ENEM – Semelhança de Triângulos
Introdução
A semelhança de triângulos é um conceito fundamental na geometria, com diversas aplicações na arquitetura, engenharia e arte. Quando dois triângulos são semelhantes, eles possuem a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Isso significa que seus ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
Critérios de Semelhança
- Critério AA (Ângulo-Ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
- Critério LAL (Lado-Ângulo-Lado): Se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo e os ângulos formados por esses lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
- Critério LLL (Lado-Lado-Lado): Se os três lados de um triângulo são proporcionais aos três lados de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Teorema Fundamental da Semelhança
O Teorema Fundamental da Semelhança afirma que se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados, então ela divide esses lados em segmentos proporcionais.
Demonstração do Teorema
- Considere um triângulo △ABC com uma reta DE paralela ao lado BC, intersectando AB em D e AC em E.
- Os ângulos correspondentes são iguais, garantindo que △ADE seja semelhante a △ABC pelo critério AA.
- Logo, os lados correspondentes dos triângulos são proporcionais: AD/AB = AE/AC = DE/BC.
Aplicações do Teorema
- Divisão de Segmentos: Utilizado para dividir segmentos em partes proporcionais.
- Resolução de Problemas de Triângulos: Permite encontrar comprimentos desconhecidos em figuras geométricas.
- Teorema de Tales: O Teorema Fundamental da Semelhança é uma generalização do Teorema de Tales.
Conclusão
A semelhança de triângulos é um conceito essencial na matemática, sendo amplamente aplicada na resolução de problemas geométricos e práticos. Compreender seus princípios permite solucionar problemas complexos de maneira eficiente.