MATEMÁTICA ENEM – FUNÇÃO AFIM

Introdução

As funções afim são um dos conceitos mais fundamentais da álgebra e desempenham um papel crucial na modelagem de fenômenos lineares em diversas áreas, como economia, física e estatística. Além de serem essenciais para o estudo de matemática em nível médio, as funções afim são amplamente utilizadas em problemas práticos que envolvem crescimento constante ou variação linear.

Definição de Função Afim

Uma função afim é uma função polinomial de grau 1 que pode ser expressa pela fórmula geral:

f(x) = ax + b

• a: coeficiente angular (taxa de variação da função);
• b: coeficiente linear (ponto onde a reta corta o eixo y).

Se a ≠ 0, a função é chamada de “linear”. Se a = 0, a função se reduz a uma função constante: f(x) = b.

Exemplo de Função Afim

Considere a função:

f(x) = 3x + 2

• Coeficiente angular: a = 3 → para cada unidade que x aumenta, f(x) aumenta em 3.
• Coeficiente linear: b = 2 → a função corta o eixo y no ponto (0,2).

Representação Gráfica

A representação gráfica de uma função afim é uma reta no plano cartesiano. O coeficiente angular a determina a inclinação da reta, enquanto o coeficiente linear b determina o ponto de interseção da reta com o eixo y.

Coeficiente Angular (a)

• Se a > 0: a reta é crescente.
• Se a < 0: a reta é decrescente.
• Se a = 0: a reta é horizontal (função constante).

Coeficiente Linear (b)

O coeficiente b indica o ponto de interseção da reta com o eixo y. Quando x = 0, o valor de f(x) será b.

Propriedades da Função Afim

• Taxa de Variação Constante: A variação da função é sempre a mesma para qualquer valor de x.
• Intersecção com os Eixos: A função corta o eixo y no ponto (0, b), e o eixo x no ponto x = -b/a, se a ≠ 0.
• Função Crescente ou Decrescente: Se a > 0, a função é crescente; se a < 0, a função é decrescente.
• Funções Lineares e Constantes: Se b = 0, a função é linear (f(x) = ax); se a = 0, a função é constante (f(x) = b).

Exercícios Propostos

1. Dada a função f(x) = 5x – 3:
   
   • Qual é o valor de f(2)?
   • Determine o ponto de interseção com o eixo y.
   • Encontre o ponto de interseção com o eixo x.
2. Seja a função g(x) = -2x + 7:
   
   • A função é crescente ou decrescente? Justifique.
   • Encontre o valor de g(-1).
   • Determine as interseções da função com os eixos x e y.
3. A função custo de uma empresa é dada por C(x) = 30x + 500, onde x representa o número de produtos produzidos:
   
   • Qual é o custo fixo da empresa?
   • Qual é o custo para produzir 20 unidades?
   • Encontre o número de unidades produzidas quando o custo total for de R$ 2000,00.

Conclusão

As funções afim são uma parte essencial do estudo da matemática e possuem uma ampla gama de aplicações em diversas áreas. Compreender as propriedades e o comportamento dessas funções facilita a modelagem e a resolução de problemas práticos que envolvem variação constante. A prática dos exercícios propostos ajuda a consolidar o entendimento desses conceitos fundamentais.

Referências

• LIMA, Elon Lages. Introdução à Álgebra Linear. 10ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
• DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2016.
• IEZZI, Gelson; DULCE, Antonio. Fundamentos da Matemática Elementar, Volume 1: Funções. São Paulo: Atual, 2012.