Equação de 1º e 2º Grau

Uma equação de 1º grau (ou equação linear) é uma equação na qual a variável aparece com expoente 1 e não há produtos de variáveis. A forma geral de uma equação de 1º grau em uma variável x é: ax + b = 0, onde a e b são constantes, com a ≠ 0, e x é a variável.

Por exemplo, para resolver a equação 2x + 3 = 7, isolamos a variável x. Subtraímos 3 de ambos os lados, obtendo 2x = 4, e dividimos ambos os lados por 2, resultando em x = 2. Assim, a solução da equação é única e representa uma reta no plano cartesiano.

Por outro lado, uma equação de 2º grau (ou equação quadrática) é caracterizada pela presença da variável elevada ao quadrado. Sua forma geral é ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são constantes, com a ≠ 0, e x é a variável. Um exemplo típico é x² – 5x + 6 = 0. Para resolver uma equação de 2º grau, podem ser utilizados métodos como a fatoração, o completamento do quadrado ou a fórmula quadrática.

Métodos de Resolução

Fatoração

Consiste em escrever a equação como o produto de dois binômios. Para x² – 5x + 6 = 0, temos (x – 2)(x – 3) = 0. As raízes são obtidas resolvendo x – 2 = 0, que resulta em x = 2, e x – 3 = 0, que resulta em x = 3.

Completamento do Quadrado

Este método transforma a equação em um trinômio quadrado perfeito. Considerando x² – 6x + 5 = 0, reescrevemos como x² – 6x = -5 e adicionamos (-6/2)² = 9 em ambos os lados, resultando em (x – 3)² = 4. As soluções são x = 3 ± 2, ou seja, x = 5 e x = 1.

Fórmula Quadrática

A fórmula quadrática pode ser aplicada para resolver qualquer equação de 2º grau: x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a. Por exemplo, para resolver 2x² – 4x – 6 = 0, identificamos os coeficientes a = 2, b = -4, e c = -6. Substituindo na fórmula, obtemos x = [4 ± √(16 + 48)] / 4, simplificando para x = (4 ± 8) / 4. Assim, as soluções são x = 3 e x = -1.

Propriedades

As equações de 2º grau apresentam propriedades específicas relacionadas ao discriminante (Δ = b² – 4ac). Quando Δ > 0, há duas raízes reais e distintas; se Δ = 0, existe uma raiz real dupla; e, quando Δ < 0, as raízes são complexas. Geometricamente, a solução de uma equação de 2º grau representa uma parábola no plano cartesiano.

Conclusão

Compreender as equações de 1º e 2º grau, seus métodos de resolução e propriedades é essencial no estudo da álgebra e em suas inúmeras aplicações práticas na matemática e nas ciências.

Referências

• STEWART, James. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
• LIAL, Margaret et al. Matemática Aplicada. 11ª ed. São Paulo: Pearson, 2015.
• GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de Janeiro: LTC, 2010.