TEORIA GERAL DE CONJUNTOS, O QUE É, E SUAS PROPRIEDADES
Autor: Rafael C. Asth – Professor de Matemática e Física
O que é a Teoria dos Conjuntos?
A teoria dos conjuntos é um campo da matemática dedicado ao estudo das coleções de elementos, que podem ser números, objetos, pessoas, entre outros.
Os elementos são geralmente representados por letras minúsculas e fazem parte de um conjunto específico.
Exemplo: o elemento “a” ou a pessoa “x”.
Representação dos Conjuntos
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e listados entre chaves { }. Os elementos são separados por vírgulas ou ponto e vírgula.
Exemplo: A = {a, e, i, o, u}
Formas de Representação dos Conjuntos
Diagrama de Euler-Venn
Os diagramas de Euler-Venn representam conjuntos visualmente através de figuras geométricas, como círculos e retângulos, onde os elementos estão inseridos.
Esse método é útil para visualizar relações entre conjuntos, como interseções e conjuntos disjuntos.
Representação Tabular
Na forma tabular, os conjuntos são listados diretamente entre chaves, com seus elementos separados por vírgulas.
Exemplo:
A = {1, 3, 9, 12, 17}
B = {João, Luíza, Fernando, Lívia}
Representação por Propriedade
Os conjuntos também podem ser definidos por uma regra que estabelece uma característica comum entre seus elementos.
Exemplos:
A = {x | x é uma vogal} (O conjunto A contém os elementos x que são vogais).
B = {x ∈ N | x é múltiplo de 3} (O conjunto B contém os números naturais múltiplos de 3).
Relações Importantes na Teoria dos Conjuntos
Relação de Pertinência
Determina se um elemento pertence (∈) ou não pertence (∉) a um conjunto.
Exemplo:
D = {w, x, y, z}
w ∈ D (w pertence ao conjunto D)
j ∉ D (j não pertence ao conjunto D)
Relação de Inclusão
Verifica se um conjunto está contido (⊂), não está contido (⊄) ou se contém outro conjunto (⊃).
Exemplo:
A = {a, e, i, o, u}, B = {a, e, i, o, u, m, n, o}, C = {p, q, r, s, t}
A ⊂ B (A está contido em B)
C ⊄ B (C não está contido em B)
B ⊃ A (B contém A)
Conjunto Vazio
O conjunto vazio é aquele que não possui elementos e é representado por { } ou pelo símbolo Ø. Ele está contido em todos os conjuntos.
Operações Entre Conjuntos
União
Indicada por (∪), a união de conjuntos corresponde à junção de seus elementos sem repetição.
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Interseção
Indicada pelo símbolo (∩), a interseção de conjuntos corresponde aos elementos comuns entre eles.
Exemplo:
C = {a, b, c, d, e}, D = {d, e, f, g, h}
C ∩ D = {d, e}
Diferença
Representa os elementos que pertencem a um conjunto, mas não ao outro.
Exemplo:
A = {a, b, c, d, e}, B = {b, c, d, f, g}
A – B = {a, e}
B – A = {f, g}
Igualdade
Dois conjuntos são iguais quando possuem exatamente os mesmos elementos, independentemente da ordem.
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 4, 1, 2}
A = B
Conjuntos Numéricos
- Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
- Números Inteiros: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Números Racionais: Q = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
- Números Irracionais: I = {…, √2, √3, √7, 3.141592…}
- Números Reais: R = N ∪ Z ∪ Q ∪ I