MATEMÁTICA – NÚMEROS RACIONAIS E IRRACIONAIS

Introdução

Os números são uma parte essencial da matemática e de nossas vidas diárias. Eles permitem contar, medir e descrever quantidades. Entre os vários tipos de números, os racionais e irracionais possuem um papel fundamental.

Números Racionais

Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma fração a/b, onde a e b são inteiros, e b ≠ 0. Em outras palavras, um número racional é um quociente de dois inteiros.

Exemplos:

• 1/2
• -3/4
• 0.75 (equivalente a 3/4)
• 5 (equivalente a 5/1)

Propriedades dos Números Racionais

• Representação Decimal: Pode ser finita ou periódica. Exemplo: 1/2 = 0.5 e 1/3 = 0.333…
• Fechamento: São fechados sob adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto divisão por zero).
• Densidade: Entre dois números racionais, sempre existe outro número racional.

Números Irracionais

Um número irracional não pode ser expresso como uma fração a/b, onde a e b são inteiros. Sua representação decimal é infinita e não periódica.

Exemplos:

• √2
• π (pi)
• e (número de Euler)

Propriedades dos Números Irracionais

• Representação Decimal: Infinita e não periódica. Exemplo: π ≈ 3.141592653589…
• Incomensurabilidade: Não podem ser expressos como razão de dois inteiros.
• Transcendência: Alguns, como π e e, são transcendentes, ou seja, não são raízes de equações polinomiais com coeficientes racionais.

Comparação entre Racionais e Irracionais

• Expressabilidade: Racionais podem ser expressos como frações, irracionais não.
• Representação Decimal: Racionais possuem representação finita ou periódica, enquanto irracionais são infinitos e não periódicos.
• Densidade: Ambos são densos na reta numérica.

Aplicações

• Geometria: A diagonal de um quadrado de lado 1 é √2.
• Ciências: π é usado em cálculos de círculos e esferas.
• Matemática Avançada: e aparece no cálculo diferencial e exponencial.

Conclusão

Os números racionais e irracionais são componentes essenciais do sistema numérico real. Enquanto os racionais são mais intuitivos e usados no dia a dia, os irracionais desempenham papéis cruciais em várias áreas da matemática e ciências.

Referências

• Stewart, Ian. Taming the Infinite: The Story of Mathematics from the First Numbers to Chaos Theory. Quercus, 2008.
• Niven, Ivan. Numbers: Rational and Irrational. Random House, 1961.
• Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, the World’s Most Astonishing Number. Broadway Books, 2003.