MATEMÁTICA ENEM – TEOREMA DE PITÁGORAS
Introdução
O Teorema de Pitágoras é um dos mais antigos e fundamentais teoremas da geometria. Atribuído ao matemático grego Pitágoras, ele estabelece uma relação entre os lados de um triângulo retângulo, desempenhando um papel central em diversas áreas da matemática, física e engenharia.
Definição do Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos dois catetos (os lados que formam o ângulo reto).
Fórmula Matemática:
c² = a² + b²
- c: comprimento da hipotenusa
- a e b: comprimentos dos catetos
Exemplo
Considere um triângulo retângulo com catetos de 3 e 4 unidades. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Logo, c = √25 = 5 unidades.
Demonstrações do Teorema de Pitágoras
1. Demonstração Geométrica
Utiliza a ideia de rearranjar áreas. Considere um quadrado de lado c contendo quatro triângulos retângulos idênticos. Ao rearranjar esses triângulos, pode-se provar que a área do quadrado maior equivale à soma das áreas dos quadrados menores.
2. Demonstração Algébrica
Partimos do fato de que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos:
c² = a² + b²
Aplicações do Teorema de Pitágoras
- Geometria: Cálculo de diagonais em figuras planas.
- Navegação: Determinação de distâncias em linha reta.
- Física: Cálculo da resultante de forças perpendiculares.
- Engenharia: Verificação de ângulos retos em construções.
Exercícios Propostos
- Determine a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 6 e 8.
- Calcule a diagonal de um terreno retangular de 9m x 12m.
- Uma escada de 10m está apoiada em uma parede, com a base a 6m da parede. Qual a altura alcançada?
- Um barco viaja 8 km para o norte e 6 km para o leste. Qual a distância em linha reta entre o ponto inicial e o final?
- Uma tela retangular tem 15 polegadas de altura e 20 de largura. Qual o comprimento da diagonal?
Conclusão
O Teorema de Pitágoras é um conceito fundamental da matemática, com inúmeras aplicações práticas. Seu domínio permite resolver problemas geométricos e compreender relações espaciais essenciais para diversas áreas do conhecimento.
Referências
- KATZ, Victor J. A History of Mathematics: An Introduction. 3ª ed. Boston: Addison-Wesley, 2009.
- STANFORD, J. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, 2002.
- IBRAHIM, Robert. Geometria: Do Básico ao Avançado. São Paulo: Livraria Escolar, 2018.